Zagadki logiczne, matematyczne i inne

tomahawk

Well-Known Member
741
1 263
Ale teraz, gdy napisałem, w którym kierunku iść, nie będzie zabawy. Poza tym, musiałbym pomyśleć nad jakimś ciekawym sformułowaniem tego zadania.

Co do zadania z grą kamień-nożyce-papier, to uważam, podobnie jak @Mad.lock, że optymalne rozwiązanie wyjdzie na fifty fifty. A dokładniej mówiąc, pierwszy gracz z prawdopodobieństwem 0.5 losuje papier oraz z prawdopodobieństwem 0.5 losuje kamień, natomiast nie losuje nożyc. Natomiast drugi gracz losuje papier z prawdopodobieństwem 0.5 oraz losuje nożyce z prawdopodobieństwem 0.5, natomiast nie losuje kamienia. Czekam na potwierdzenie @Att, czy idę dobrą drogą.
 
  • Like
Reactions: Att

Att

Manarchista
285
436
Jeśli wymyślimy jakąś strategię i chcemy wiedzieć, jaką daje pewność wygranej, to wystarczy sprawdzić trzy strategie przeciwnika:
a) jak daje zawsze papier,
b) jak daje zawsze kamień,
c) jak daje zawsze nożyce.
Jeśli przy każdej z tych trzech strategii przeciwnika będziemy mieli pewność przynajmniej p, to przy dowolnej strategii przeciwnika będziemy mieli pewność przynajmniej p. Jak już koledzy wyżej zauważyli, obaj gracze mają strategię, która im daje pewność wygranej 50% (więc też żaden nie może mieć strategii dającej większą pewność).

A skoro już jesteśmy przy polach trójkątów, to na poniższym rysunku trójkąt o bokach x, y, z ma pole 1. Należy obliczyć pole zielonego trójkąta (to już nie powinno pójść tak łatwo z podobieństw).
rab.png
 

tolep

ChNiNK! ChP!
7 771
13 217
To zadanie daje się zredukować biorąc jakiś szczególnie przyjemny przypadek (na przykład trójkąt prostokątny równoramienny ładnie leżący na osiach układu współrzędnych) i dalej już brutalnie według solucji @alfacentauri :)
 

Att

Manarchista
285
436
Rzeczywiście, da się to tak rozwiązać, jednak jako wielki przeciwnik geometrii analitycznej muszę skrytykować takie pomysły :p Ile czasu zajęłyby Ci takie rachunki - nawet w tym szczególnie przyjemnym przypadku? A poza tym czy potrafisz udowodnić, że zawsze pole zielonego trójkąta jest równe temu ze szczególnego przypadku?
Tak, wiem, przekształcenia afiniczne zachowują stosunki pól.
EDIT: Dałem ładne rozwiązanie w spoilerze, ale w sumie nie ma co psuć zabawy. Jak nikt nie wymyśli, to wrzucę jeszcze raz za jakiś czas.
 
Ostatnia edycja:

tolep

ChNiNK! ChP!
7 771
13 217
Tak, wiem, przekształcenia afiniczne zachowują stosunki pól.
Ja nawet nie wiedziałem - aż do chwili temu - co to takiego przekształcenia afiniczne. Sensowną naukę matematyki skończyłem w starej podstawówce (oczywiście wykraczając poza jej program). Zauważyłem tylko że długości odcinków ani kąty nie wynikają z rysunku. Skoro to jest - jak widać na obrazku - byle jaki trójkąt, to wynik musi być taki sam dla "ładnego" trójkąta.
 

tomahawk

Well-Known Member
741
1 263
No ale jak narysuję tobie byle jaki trójkąt i powiem, żebyś wyprowadził wzór na pole trójkąta, znając boki a, b i c, to jeśli sobie narysujesz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, b i wyprowadzisz wzór na pole 1/2*a*b (dla tego trójkąta), to nie będzie to oznaczać, że ten wzór stosuje się dla wszystkich trójkątów, bo dla dowolnego trójkąta obowiązuje wzór Herona.
 

tolep

ChNiNK! ChP!
7 771
13 217
No ale jak narysuję tobie byle jaki trójkąt i powiem, żebyś wyprowadził wzór na pole trójkąta, znając boki a, b i c, to jeśli sobie narysujesz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, b i wyprowadzisz wzór na pole 1/2*a*b (dla tego trójkąta), to nie będzie to oznaczać, że ten wzór stosuje się dla wszystkich trójkątów, bo dla dowolnego trójkąta obowiązuje wzór Herona.
W zadaniu nie chodzi o pole jakiegoś trójkąta o danych wymiarach tylko o stosunek pola trójkąta wewnętrznego skonstruowanego w odpowiedni sposób, do pola trójkąta zewnętrznego. Ponieważ na całym rysunku nie są podane żadne wymiary - boków ani kątów - więc, przy założeniu że zadanie ma sens, można przyjąć trójkąt o dowolnych bokach i kątach.
 

mikioli

Well-Known Member
2 619
4 675
Jeśli wymyślimy jakąś strategię i chcemy wiedzieć, jaką daje pewność wygranej, to wystarczy sprawdzić trzy strategie przeciwnika:
a) jak daje zawsze papier,
b) jak daje zawsze kamień,
c) jak daje zawsze nożyce.
Jeśli przy każdej z tych trzech strategii przeciwnika będziemy mieli pewność przynajmniej p, to przy dowolnej strategii przeciwnika będziemy mieli pewność przynajmniej p. Jak już koledzy wyżej zauważyli, obaj gracze mają strategię, która im daje pewność wygranej 50% (więc też żaden nie może mieć strategii dającej większą pewność).

A skoro już jesteśmy przy polach trójkątów, to na poniższym rysunku trójkąt o bokach x, y, z ma pole 1. Należy obliczyć pole zielonego trójkąta (to już nie powinno pójść tak łatwo z podobieństw).
View attachment 437
4/13
 

mikioli

Well-Known Member
2 619
4 675
W zadaniu nie chodzi o pole jakiegoś trójkąta o danych wymiarach tylko o stosunek pola trójkąta wewnętrznego skonstruowanego w odpowiedni sposób, do pola trójkąta zewnętrznego. Ponieważ na całym rysunku nie są podane żadne wymiary - boków ani kątów - więc, przy założeniu że zadanie ma sens, można przyjąć trójkąt o dowolnych bokach i kątach.
To jest zadanie z kosmicznej matematyki, a wynik to 4/13... Szczerze to nie radziłbym rozmyślać nad tym...
 

tomahawk

Well-Known Member
741
1 263
Nie zauważyłem, że dane jest pole większego trójkąta. Ale czy wynikiem tego zadania jest wzór, zależny od x, y i z? Czy akurat pole zawsze jest takie samo? Bo jeżeli wyliczysz tylko pole dla jednego szczególnego trójkąta, to nie musi to oznaczać, że to pole jest równe dla wszystkich trójkątów, chyba że udowodnisz, że pola tych mniejszych trójkątów zawsze muszą być takie same, wtedy tak - możesz wyliczyć pole dla szczególnego przypadku.
 

mikioli

Well-Known Member
2 619
4 675
Albo już je kiedyś widział :p
No jak widział rozwiązanie :p Nie będę cię trzymał w niepewności... ale trzeba znać TW. Menelaosa, które wynika z TW Talesa ( to akurat znam ;)) I zaopatrzony w taką wiedzę pan Routh stworzył swoje twierdzenie opisujące jak się ma pole ABC do tego małego pola, w zależności od stosunku podzielonych boków.

https://en.wikipedia.org/wiki/Routh's_theorem
 

tolep

ChNiNK! ChP!
7 771
13 217
Czy akurat pole zawsze jest takie samo?
Jeśli nie ma danych takich jak kąty i wymiary, to wynik musi być od nich niezależny.

A nie chce Ci się myśleć? :p Od razu Ci zdradzę, że ja tego nie rozwiązałem, a pan który to zrobił opublikował rozwiązanie w 1896r. Dziwię się, zamieszczaniom aż tak trudnych zagadek... a jeśli ktoś mówi, że z głowy je rozkminił, to albo jest geniuszem, albo kłamie
Przecież ja też to rozwiązałem, z głowy, w banalny sposób, przy użyciu standardowej geometrii analitycznej.
 
Do góry Bottom