Dobra, daję odpowiedź/podpowiedź, bo mnie już dzisiaj nie będzie:
https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
https://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity
Mamy okrąg, na okręgu mamy n różnych punktów, położonych w taki sposób, że każda para sąsiadujących ze sobą punktów leży w równej odległości (łuk okręgu zakreślony między nimi jest taki sam dla wszystkich sąsiadujących ze sobą par). Dla każdego punktu wyznaczamy wektor, który ma początek w środku okręgu, natomiast koniec w danym punkcie na okręgu - w ten sposób otrzymujemy n różnych wektorów, które leżą na promieniach tego okręgu. Udowodnij, że suma tych wektorów wynosi zero. Oczywiście n > 1.
PS. Miałem podać sformułowanie używając pojęcia wektora siły, ale stwierdziłem, że nie będę mieszał i dałem takie proste sformułowanie, które każdy powinien zrozumieć. Jak ktoś chce to może umieścić rysunek poglądowy, mnie się nie chce
Proste, czyste i przejrzyste... nie to co hipotetyczne środki masObróćmy cały ten okrąg o kąt 2π/n wokół jego środka. Każdy wektor najdzie wtedy na wektor z nim sąsiadujący. Sytuacja będzie więc dokładnie taka sama jak na początku - suma musi pozostać taka sama. Jednak wektor będący sumą tych wektorów również obrócił się o 2π/n. Skoro ten wektor obrócony musi być taki sam jak przed obróceniem, to musi to być wektor zerowy, więc suma faktycznie jest równa zero.
Oznaczę sobie dla ułatwienia liczbę 1!+2!+...+n! przez n?. Reszta w spoilerze.@Att, Ok to teraz powiedz, jaka będzie suma po usunięciu jednego wektora
Edit. Albo nie mów, bo to jest zbyt oczywiste. Pomyślę nad innym sformułowaniem.
To teraz równania.
Rozwiązać następujące równanie (w liczbach naturalnych):
1!+2!+...+n! = k^3.
To może przyjmijmy jakieś założenia.Zagadka św. Augustyna: Starożytni Grecy wierzyli, że Księżyc jest tak daleko od Ziemi, że kiedy zrzucić z niego kowadło, będzie spadało dziewięć dni i dziewięć nocy. Jak to daleko?